Téléphone mobile ou cellulaire

L’apparition de ces téléphones bouleverse notre mode de communication. Où que vous soyez (ou presque) vous pouvez rester en contact avec votre famille, vos amis, vos compagnons de travail … non sans que cela entraîne des contraintes.

Selon M. Corbel (SFR, France), le téléphone mobile est un concentré de mathématiques : de la conception des puces jusqu’à la commercialisation, partout à chaque étape de son élaboration, un téléphone mobile contient, enfoui dans ses profondeurs, des mathématiques. Sans oublier les structures extérieures qui lui sont nécessaires : antennes, gestion des lignes virtuelles…

Comment tout cela fonctionne-t-il ? Vous devez d’abord prendre un abonnement chez l’opérateur de votre choix. Il y en a actuellement trois en France, mais cela peut changer, le marché étant extrêmement porteur. Votre opérateur a partagé la France en petites zones, des cellules, d’autant plus petites que la population y est nombreuse. Au milieu de chaque cellule, il a installé une antenne, du type émetteur-récepteur, que nous pouvons nommer un « transmetteur ». Quand vous voulez établir une communication, votre téléphone mobile commence à s’adresser au transmetteur le plus proche pour lui demander une fréquence. À partir de là, tout se passe comme si un câble (virtuel) vous est momentanément réservé, par lequel passera votre communication. Ensuite en fonction du numéro appelé, votre opérateur établira un contact avec le transmetteur proche du correspondant. De nouveau, un problème de réservation d’une fréquence se pose.

Il y a de très nombreux problèmes annexes dans ce type de communication, dont celui du codage de la conversation entre les deux interlocuteurs, sous peine de perdre la confidentialité de la discussion.

Nous allons nous limiter[1] à celui des attributions des fréquences pour que deux conversations différentes ne finissent pas par se mélanger, comme il s’en produit parfois sur les ondes radio quand des stations émettent sur des fréquences trop proches.

Chaque opérateur téléphonique reçoit de l’État une bande de fréquences qui lui sera propre, et qui sera protégée des autres opérateurs tentés de s’en servir. À chacun ses fréquences ! Le problème consiste à attribuer à chaque transmetteur un certain nombre de fréquences de façon qu’il n’y ait pas d’interférence. D’où peuvent venir les brouillages ? D’abord, des fréquences trop voisines utilisées par le transmetteur lui-même. C’est pour cette raison qu’un transmetteur n’utilise que 300 fréquences de la bande réservée à l’opérateur. Ensuite, deux transmetteurs voisins peuvent aussi interférer. Des contraintes sont donc imposées aux fréquences réservées à chaque transmetteur. Autre précaution : les dimensions des cellules sont relativement petites et la portée des émetteurs-récepteurs est assez faible. Les contraintes sont donc locales ; quand les cellules sont éloignées, il n’y a plus de risque de brouillage entre elles, et on peut donc utiliser les mêmes fréquences. Ainsi, une fréquence utilisée à Paris peut l’être aussi à Marseille.

Le problème d’attribution des fréquences est un problème de graphe : un ensemble de points liés entre eux par des connections. Nous pouvons  en effet, construire un graphe en associant un sommet du graphe à chaque transmetteur. Ensuite, nous relions deux sommets pour signaler des contraintes d’interférences. Puis, nous cherchons à attribuer à chaque sommet plusieurs fréquences (ou couleurs). Nous sommes maintenant devant un problème dit de multi-coloriage d’un graphe. À partir de là, les ingénieurs et les mathématiciens vont définir correctement les contraintes et résoudre le problème. Naturellement, un usage intensif des ordinateurs conduira à la solution.

Aujourd’hui, dans des problèmes liés aux composants électroniques, les graphes utilisés atteignent des dimensions exceptionnelles : 100 millions de sommets !


[1]. Un article de Daniel Krob décrit sur l’Internet de nombreux aspects de la technologie du téléphone mobile. Pour le retrouver avec un moteur de recherche, voici son titre : « Les dessous du téléphone portable ».